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ポアソン分布【ぽあそんぶんぷ】

統計の手法のひとつは 、未知の分布を既知の数学的に扱いやすい確率分布で近似することである。その中で、結果がふたとおりしかないときに、ポアソン分布を用いる場合が多い。

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ポアソン分布(Poisson distribution)の数理

ポアソン分布は、N人からなる集団において、ある特性を有するものがM人いると仮定し、この集団から無作為にn人取り出したとき、特性を有する人数をXとすると、X=xとなる確率分布を超幾何分布(hypergeometric distribution)と呼ぶ(式1)。(式1)超 幾 何 分 布 で 考 え た 集 団 を p=N/Mを 一 定 に し て 、 Mお よ び Nを 無 限 に 大きくした場合に、抽出したn人のうち特性を有するものの数Xは0からnまでの整数でX=xとなる確率分布を2項分布と呼ぶ。(式2)(式2)2項分布でnpを一定にして、nを限りなく大きくした場合(λ=np)をポアソン分布と呼ぶ。(式3)

ポアソン分布の応用

超幾何集団は母集団が分かっている場合に用いるので、母集団の平均や標準偏差が分からないと適用できない。2項 定 理 は 母 集 団 の 確 率 を 仮 定 し 、 あ る 集 団 で の 発 症 率 の 確 率 分 布を求めるので、ある集団で発症率を求めたときにその確率を求めることが可能。ただし、発症率が非常に低い場合には、例数を大量に集めなくては適用できない。ポ ア ソ ン 分 布 は 、 2項 分 布 で 集 め る 数 を 限 り な く 大 き く し た 場 合 を仮定している、ある特性を有する人が何人かいたときに、その確率を出していることとなる。たとえば、人口統計調査などで脳卒中の10万人に何人発生するかが既知の場合、ある地方で脳卒中の1年間の発生人数が分かった場合に、にそれが異常な値であるかどうかを評価することが可能。主要評価項目が、脳卒中の再発率あるいは非ステロイド系抗炎症剤副作用である胃潰瘍の発現率のように、プラセボ対照群でも発生率が 非 常 に 低 い 場 合 の 薬 剤 の 効 果 を 比 較 す る 際 に も ポ ア ソ ン 分 布 を 応用し、比較が可能となる。

エクセルによるポアソン分布の確率計算

書式:POISSON(イベント数,平均,関数形式) イベント数は式3のx、平均はλを指します。関数形式にFALSEを選ぶとxのときの確率、TRUEを選ぶとxまでの累積関数を示します。イベント数、平均には整数のみを指定します。ここでいう平均とは先に述べた人口統計調査により10万人当たりの発生数などのことで、式3のλに当たります。

問題

エクセル関数で平均(λ)に0以下を指定するとエラー値 #NUM!が返ります。その理由を述べよ。

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