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モンテカルロ法【もんてかるろほう】

モンテカルロ法とは、ある問題を解くにあたり、解析的に解けない場合、擬似的なモデルを作成し、十分な回数のシミュレーションを行うことによって近似的な解を求めるという手法のことをいう。代表的な使い方の例としては、円周率πの値を近似的に求める場合がある。

関連した単語

確率的モデルについて

モデルには、時間の経過に従ってその対象が変化していく動的モデルがある。このうち、不規則な現象を含む確率的モデルをここでは採用する。例えばサイコロを振ったときに出る目の数は誰にも予測できない。振った回数によっては、特定の目が多く出ることもある。このように不規則な確率的現象を含んだモデルが確率的モデルである。

乱数を使ったシミュレーションについて

実際にサイコロを振った場合と同じような状況を作り出すために、通常は、乱数を用いる。ここでいう乱数とは、0以上1未満の数値がどれも等しい確率で出てくる一様乱数のことを意味する。実際に乱数を発生させるのはコンピュータ上で行う。サイコロを振った回数が少なければ、それぞれの目の出た回数にはばらつきがあり、それに伴って、目の出る確率も偏りのある場合もある。しかしサイコロを振った回数が何千回、何万回と多くなればなるほど、その確率は全て6分の1に近づいていく。この確率のことを相対度数と呼び、「ことがらの起こった数÷全体の数」で求めることができる。ただ、実際にそれだけの回数だけサイコロを振るのは難しいため、コンピュータ上で乱数を用いて、サイコロを振った状況を作り出す。これがサイコロに関する確率的モデルである。そして、それぞれの目の出る確率を計算していくことでシミュレーションを行う。これがモンテカルロ法による使い方の一例である。

円周率πの値を近似的に求める方法について

代表的な使い方の例としては、円周率πの値を近似的に求めるためにモンテカルロ法を用いるということがある。例えば正方形とこれに内接する四分円を考え、乱数によって正方形内の点の座標を表す。乱数は0以上1未満の数値が均等に発生することになっているので、各座標と原点との距離が1より大きいかどうかによってその座標が四分円の内側かどうか判断できる。その座標が十分に多くなると、四分円内の座標数と正方形内の座標数の比は四分円の面積と正方形の面積との比に近づいていく。これを計算することによって円周率πの値を近似的に求めるのである。ちなみに、モンテカルロ法の名前の由来は、確率的モデルにちなんで、ギャンブルで有名な国モナコの首都モンテカルロという地名からとったものと言われている。

問題

モンテカルロ法とは何か。また、その使い方について具体的な例を挙げよ。

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